第465章 名师出高徒
梁辉眼睛一亮，笑著招呼道：“原来是肖教授的学生啊，有道是名师出高徒，前途无量啊。”
他身后几个博士生看著陈林和陆奇，眼神里却全是同情。
自从他们导师从肖宿讲座回来，整个人就像被数学洗了脑一样，每天带著他们不是研究纤维丛理论，就是研究扩散张量成像的空间离散化、亚克隆侵袭权重的耦合方程组，白板上的公式擦了一版又一版，他们本科那点数学底子早就被榨乾了，魂都快没了。
这几个人在肖宿手底下读书，天天跟著一个十六岁就能证出哥德巴赫猜想的神仙搞研究，简直难以想像过的什么日子。
陈林注意到那几个博士生的眼神，胳膊肘碰了碰陆奇，压低声音说：“哎，他们看咱的眼神怎么有点奇怪？”
陆奇顺著他的目光扫了一眼，很快又收了回来。
“精神可能不太好了吧。”
说话间，几人跟著梁辉往里走。
梁辉的实验室在研究中心二楼，拐过一条走廊之后推开一扇门就到了。
这间实验室和外面那些標准生物实验室完全不同，实验台上不是细胞培养箱和离心机，而是铺满了列印出来的论文和手写推导草稿。
墙上掛著一块巨大的白板，上面密密麻麻写满了公式，从扩散张量成像数据的空间离散化到纤维丛联络的曲率標定，从亚克隆侵袭权重的耦合方程组到各向异性场的最小能量轨跡，满满当当一层盖一层，旧的公式还没擦乾净，新的推导就又叠了上去。
角落里堆著好几摞数学参考书，有微分几何的、偏微分方程的、还有计算流体力学的教材，书页边角全贴满了便签纸，有本《黎曼几何引论》翻得书脊都裂了。
“肖教授，上次在您得讲座上听了您对胶质母细胞瘤沿白质束侵袭的纤维丛模型分析，我们受益匪浅啊。
按照您提出的思路，我们已经尝试构建了一套基於患者个体化扩散张量成像数据的纤维丛模型，利用各向异性场定义了局部联络形式，並推导出了初步的能量泛函极小值条件。
目前模型在均匀白质束区域內的预测精度还算比较理想，与术后病理结果的对標误差控制在了临床可接受的范围內。”
梁辉一边说一边指了指白板上一组复杂的泛函方程，那密密麻麻的推导步骤几乎铺满了整个板书面板，草稿的边缘甚至贴上了好几张便签纸补充细节。
“目前遇到的最大问题是，当肿瘤侵袭前缘进入白质束交叉区域，比如胼胝体压部和內囊后肢这类纤维走向高度混杂的解剖位置时，弥散张量的各向异性分数急剧下降，主特徵向量的弥散方向就不再具有唯一性了。
这种情况下，纤维丛的联络形式就会变得特別不稳定，能量泛函在局部也会出现多个偽极小值，算法给出的预测结果就会產生明显偏差，与实际病理结果之间差了好几个毫米，已经完全脱离了临床可接受的精度范围了。
我们尝试过用好几种正则化方法来消除偽极小值，比如通过引入高阶弥散模型重构局部纤维走向分布，或者用贝叶斯方法对弥散参数的先验分布做约束，不过效果都不太理想，现在已经卡在这里好几天了。”
肖宿听完，在白板前站定，目光在那些密密麻麻的推导上停了好一会儿。
“思路没什么问题，但是癥结不在正则化方式上。”
他转过身，抬起手指点了点白板上一处標註了红圈的联络形式表达。
“你的模型在白质束交叉区域內定义联络时，直接把弥散张量主特徵向量作为纤维丛的底流形切空间基矢。
在均匀白质束区，主特徵向量弥散方向明確，这个定义可行。
但是，在交叉区，底流形实际上是由多条交叉纤维束共同构成的复合结构，单根纤维束的弥散特徵被周围其他交叉纤维束的弥散信號掩盖，张量场在这里已经不是单峰分布了，主特徵向量在体素內不具有唯一性，你的纤维丛在这个区域的底流形定义就失效了。
联络退化，能量泛函的凸性条件被破坏，偽极小值就冒出来了。”
梁辉的眉头拧了一下，迅速在白板上找到了对应的方程组。
“您的意思是，我们需要把纤维丛的底流形从一维拓展到多维？”
“不是拓展维数。”
肖宿拿起旁边的记號笔，在白板上画了三条交错的曲线，每一条曲线旁標註了一组係数，指著这个对梁辉说：
“是在白质束交叉区域內，將纤维丛从单层结构改为双层结构。
不同交叉纤维束的弥散分量各自对应不同的纤维丛，底流形都是这块白质束区域的解剖结构，但是各自又都有自己的联络形式和权重係数。
在交叉区域，把所有纤维丛对应的能量泛函做加权叠加，权重係数由各弥散分量的相对占比来定。”
他又在白板上写下一个加权叠加方程，然后在这条方程下面添了一个凸性条件。
“加权叠加之后，整个交叉区就变成了一个变分问题，约束条件是各纤维丛的局部凸性条件。
只要每个子纤维丛的能量泛函各自保持凸性，加权组合出来的总泛函就还是凸的，唯一性由各分量的凸性分別保证，偽极小值就不存在了。在这里，”他用记號笔在方程中间某个位置画了个圈，“加入一个弥散张量各向异性分数约束项，对各纤维丛的权重係数进行归一化。
这样弥散张量场的噪声就不会被放大，联络在交叉区也能稳定下来。”
他放下记號笔，转头看向梁辉。
梁辉直直盯著白板上那个被圈出来的约束项，脑子里飞速比对肖宿刚才写的那些方程和他之前推导的版本。
他的嘴唇微微翕动，像在默念什么公式，又像在反覆咀嚼“双层纤维丛”和“加权叠加泛函”这两个概念。
他身后几个博士生看著陈林和陆奇，眼神里却全是同情。
自从他们导师从肖宿讲座回来，整个人就像被数学洗了脑一样，每天带著他们不是研究纤维丛理论，就是研究扩散张量成像的空间离散化、亚克隆侵袭权重的耦合方程组，白板上的公式擦了一版又一版，他们本科那点数学底子早就被榨乾了，魂都快没了。
这几个人在肖宿手底下读书，天天跟著一个十六岁就能证出哥德巴赫猜想的神仙搞研究，简直难以想像过的什么日子。
陈林注意到那几个博士生的眼神，胳膊肘碰了碰陆奇，压低声音说：“哎，他们看咱的眼神怎么有点奇怪？”
陆奇顺著他的目光扫了一眼，很快又收了回来。
“精神可能不太好了吧。”
说话间，几人跟著梁辉往里走。
梁辉的实验室在研究中心二楼，拐过一条走廊之后推开一扇门就到了。
这间实验室和外面那些標准生物实验室完全不同，实验台上不是细胞培养箱和离心机，而是铺满了列印出来的论文和手写推导草稿。
墙上掛著一块巨大的白板，上面密密麻麻写满了公式，从扩散张量成像数据的空间离散化到纤维丛联络的曲率標定，从亚克隆侵袭权重的耦合方程组到各向异性场的最小能量轨跡，满满当当一层盖一层，旧的公式还没擦乾净，新的推导就又叠了上去。
角落里堆著好几摞数学参考书，有微分几何的、偏微分方程的、还有计算流体力学的教材，书页边角全贴满了便签纸，有本《黎曼几何引论》翻得书脊都裂了。
“肖教授，上次在您得讲座上听了您对胶质母细胞瘤沿白质束侵袭的纤维丛模型分析，我们受益匪浅啊。
按照您提出的思路，我们已经尝试构建了一套基於患者个体化扩散张量成像数据的纤维丛模型，利用各向异性场定义了局部联络形式，並推导出了初步的能量泛函极小值条件。
目前模型在均匀白质束区域內的预测精度还算比较理想，与术后病理结果的对標误差控制在了临床可接受的范围內。”
梁辉一边说一边指了指白板上一组复杂的泛函方程，那密密麻麻的推导步骤几乎铺满了整个板书面板，草稿的边缘甚至贴上了好几张便签纸补充细节。
“目前遇到的最大问题是，当肿瘤侵袭前缘进入白质束交叉区域，比如胼胝体压部和內囊后肢这类纤维走向高度混杂的解剖位置时，弥散张量的各向异性分数急剧下降，主特徵向量的弥散方向就不再具有唯一性了。
这种情况下，纤维丛的联络形式就会变得特別不稳定，能量泛函在局部也会出现多个偽极小值，算法给出的预测结果就会產生明显偏差，与实际病理结果之间差了好几个毫米，已经完全脱离了临床可接受的精度范围了。
我们尝试过用好几种正则化方法来消除偽极小值，比如通过引入高阶弥散模型重构局部纤维走向分布，或者用贝叶斯方法对弥散参数的先验分布做约束，不过效果都不太理想，现在已经卡在这里好几天了。”
肖宿听完，在白板前站定，目光在那些密密麻麻的推导上停了好一会儿。
“思路没什么问题，但是癥结不在正则化方式上。”
他转过身，抬起手指点了点白板上一处標註了红圈的联络形式表达。
“你的模型在白质束交叉区域內定义联络时，直接把弥散张量主特徵向量作为纤维丛的底流形切空间基矢。
在均匀白质束区，主特徵向量弥散方向明確，这个定义可行。
但是，在交叉区，底流形实际上是由多条交叉纤维束共同构成的复合结构，单根纤维束的弥散特徵被周围其他交叉纤维束的弥散信號掩盖，张量场在这里已经不是单峰分布了，主特徵向量在体素內不具有唯一性，你的纤维丛在这个区域的底流形定义就失效了。
联络退化，能量泛函的凸性条件被破坏，偽极小值就冒出来了。”
梁辉的眉头拧了一下，迅速在白板上找到了对应的方程组。
“您的意思是，我们需要把纤维丛的底流形从一维拓展到多维？”
“不是拓展维数。”
肖宿拿起旁边的记號笔，在白板上画了三条交错的曲线，每一条曲线旁標註了一组係数，指著这个对梁辉说：
“是在白质束交叉区域內，將纤维丛从单层结构改为双层结构。
不同交叉纤维束的弥散分量各自对应不同的纤维丛，底流形都是这块白质束区域的解剖结构，但是各自又都有自己的联络形式和权重係数。
在交叉区域，把所有纤维丛对应的能量泛函做加权叠加，权重係数由各弥散分量的相对占比来定。”
他又在白板上写下一个加权叠加方程，然后在这条方程下面添了一个凸性条件。
“加权叠加之后，整个交叉区就变成了一个变分问题，约束条件是各纤维丛的局部凸性条件。
只要每个子纤维丛的能量泛函各自保持凸性，加权组合出来的总泛函就还是凸的，唯一性由各分量的凸性分別保证，偽极小值就不存在了。在这里，”他用记號笔在方程中间某个位置画了个圈，“加入一个弥散张量各向异性分数约束项，对各纤维丛的权重係数进行归一化。
这样弥散张量场的噪声就不会被放大，联络在交叉区也能稳定下来。”
他放下记號笔，转头看向梁辉。
梁辉直直盯著白板上那个被圈出来的约束项，脑子里飞速比对肖宿刚才写的那些方程和他之前推导的版本。
他的嘴唇微微翕动，像在默念什么公式，又像在反覆咀嚼“双层纤维丛”和“加权叠加泛函”这两个概念。